VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Definición: Las variables aleatorias discretas son aquellas que solamente pueden tomar un número finito o infinito contable de valores (NUMEROS ENTEROS).
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Definición: En general llamaremos distribución de probabilidad o función de probabilidad a una tabla o formula que asocie con cada valor de una variable aleatoria su probabilidad respectiva.
X=xi | x1 | x2 | x3 | ..................... | xn |
P(X=xi) | P(X1) | P(X2) | P(X3) | ..................... | P(Xn) |
Donde:
FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Si X es una variable aleatoria con función de probabilidad f(X), entonces F(X), es la función escalonada definida por:
F(X) determina en forma única la distribución de probabilidad acumulada de la variable aleatoria asociada.
VALOR ESPERADO (Media, Esperanza,Ganancia esperada)
La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta X, con una función de probabilidad p(x) y h(x) se define como:
Si h(x) = x, la esperanza o valor esperado de la variable aleatoria X, con función de probabilidad P(x), se representa por E(x) y esta dada por:
La esperanza de x es conocida como la media poblacional si, p(x) representa la distribución de frecuencias de la población. Denotarse como:
Ganancia Esperada
En un juego de azar es calculada con la esperanza matematica y se obtiene multiplicando la cantidad que el jugador espera ganar por la probabilidad de que la gane. Para que un juego sea justo la ganancia esperada debe ser cero, esto significa que un jugador en promedio termina sin ganancia ni perdida.
Cuando hablamos de perdida se habla de cantidades negativas y al hablar de ganancia de numeros positivos.
VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Sea X una variable aleatoria discreta. Se define la varianza o variancia representada por V(x) 0 Ƃ2 con función de probabilidad P(x) por:
Se define como desviación estándar como:
Ejemplo 1
En un local que vende accesorios para computadoras, cuentan con 9 computadoras ensambladas, 5 de ellas no están completas. Un cliente de un ciber-cafe adquiere 4 de estas computadoras. Un empleado nuevo elije estas maquinas aleatoriamente de entre las 9 disponibles, sea X el numero de computadoras completas con que cuenta este local. Encuentra la función de probabilidad, la función de distribución acumulada, la media, la varianza y su desviación estándar.
x= # de computadoras completas x= 0, 1, 2, 3, 4 IDENTIFICAMOS X Y SUS VALORES
n=9 4 Completas y 5 Incompletas IDENTIFICAMOS VALORES DE N Y R
r= 4
REALIZAMOS LAS OPERACIONES PARA SACAR LA PROBABILIDAD PARA CADA VALOR DE X:
PASAMOS LOS VALORES A LA TABLA
Función de probabilidad
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(x) | 0.0397 | 0.3175 | 0.4762 | 0.1587 | 0.0079 |
SUMAMOS LOS VALORES DE LAS PROBABILIDADES HASTA OBTENER 1
Función de distribución acumulada
x | P(x) | F(x) |
0 | 0.0307 | 0 + 0.0397 = 0.0397 |
1 | 0.3175 | 0.0397 + 0.3175 = 0.3572 |
2 | 0.4762 | 0.3572 + 0.4762 = 0.8334 |
3 | 0.1587 | 0.8334 + 0.1587 = 0.9921 |
4 | 0.0079 | 0.9921 + 0.0079 = 1 |
OBTENEMOS LA MEDIA :
Media
M= (0 * 0.0397) + (1 * 0.3175) + (2 * 0.4762) + (3 * 0.1587) + (4 * 0.0079) = 1.7776
OBTENEMOS LA VARIANZA:
Varianza
V(x) = (0 - 1.7776)2 ( 0.0397) + (1 – 1.7776)2 ( 0.3175) + (2 – 1.7776)2 ( 0.4762) +
(3 – 1.7776)2 ( 0.1587) + (4-1.7776)2 (0.0079) = 0.6169
OBTENEMOS LA DESVIACION ESTANDAR:
Desviación Estándar
Ƃ = √0.6169 = 0.785
Ejemplo 2
Un apostador en el hipodromo de las americas puede lograr una ganancia en cada carrera de $40 o una perdida de $10 por boleto, las probabilidades de que esto ocurra son de 0.60 y 0.40. Calcula la ganancia esperada.
x | -10 | 40 |
P(x) | 0.40 | 0.60 |
La esperanza es: E(x)= (-10)(0.40)+(40)(0.60)= -4+24=$20
